F�sica Estad�stica y Termodin�mica

F�sica Estad�stica

Teor�a cin�tica de
los gases

Ecuaci�n de la trans-
 formaci�n adiab�tica.

F�rmula de la
estad�stica cl�sica 

Niveles discretos
de energ�a

Experimento de
Stern-Gerlach

Vibraci�n de las
mol�culas diat�micas

Modelo simple
de atm�sfera

Distribuci�n de las
velocidades de las
mol�culas

Incremento de la temperatura del gas durante la compresi�n

En la deducci�n de la ley de los gases ideales a partir de los choques de las mol�culas con las paredes del recipiente, hemos supuesto que el �mbolo est� fijo. De modo, que la mol�cula rebota cuando choca con el �mbolo cambiando el signo de la componente X su velocidad.

Mediante un modelo simple se han interpretado microsc�picamente las magnitudes macrosc�picas presi�n y temperatura. Los pasos han sido los siguientes:

1. Determinar el cambio de momento lineal que experimenta una mol�cula cuando choca con el �mbolo.
2. Determinar el n�mero de choques que experimentan las mol�culas con el �mbolo en la unidad de tiempo.
3. Calcular la fuerza que ejerce el �mbolo sobre las mol�culas del gas para producirles dicho cambio de momento lineal.
4. Relacionar de la temperatura con la energ�a cin�tica media de las mol�culas.

En la derivaci�n de la ecuaci�n de la transformaci�n adiab�tica, no se emplea ni el primer principio ni la ecuaci�n de estado de un gas ideal, solamente la relaci�n entre energ�a cin�tica media de las mol�culas del gas y su temperatura, es decir, la definici�n cin�tica de temperatura.

Choque de una mol�cula contra un �mbolo m�vil

Cuando un �mbolo se mueve hacia la izquierda comprimiendo el gas encerrado en el recipiente, las mol�culas que chocan contra el �mbolo, como podemos ver en las sucesivas figuras, incrementan su velocidad a causa de su choque con una pared m�vil.

Mediante este mecanismo el �mbolo incrementa la energ�a de las part�culas encerradas en el recipiente. La velocidad de desplazamiento del �mbolo es muy peque�a comparada con la velocidad de las mol�culas, la energ�a ganada por una mol�cula en su choque con el �mbolo es r�pidamente redistribuida entre las otras part�culas del gas, de modo que el gas est� siempre en equilibrio.

Supongamos que el gas consiste en N part�culas contenida en el volumen cil�ndrico de longitud L, tal como se muestra en la figura. Si el gas tiene N part�culas, el tiempo medio entre dos colisiones es Cada mol�cula del gas cambia su velocidad en el choque contra el �mbolo m�vil desde vx a –vx-2ve.

Se supone que el �mbolo no cambia de velocidad como resultado del choque con las mol�culas ya que su masa M es muy grande comparada con la masa m de una mol�cula. Sin embargo, como el n�mero de choques es muy grande, para que el �mbolo se mantenga con velocidad constante es necesario ejercer una fuerza.

La ganancia de energ�a cin�tica que experimenta el gas en cada choque con el �mbolo es

Hemos supuesto que la velocidad con la que se mueve el �mbolo v_e es mucho m�s peque�a que la velocidad promedio v_x de las mol�culas del gas.

Incremento de la temperatura del gas durante la compresi�n

El incremento de energ�a cin�tica en cada choque se redistribuye entre todas las mol�culas del gas. La energ�a media ganada por part�cula es 2mv_xv_e/N, y este incremento de energ�a se refleja en un incremento de temperatura

donde la velocidad de desplazamiento del �mbolo es v_e=-DL/Dt, el desplazamiento DL del �mbolo que ocurre entre dos choques sucesivos Dt.

Introducimos el valor de Dt (tiempo medio entre dos colisiones) calculado en el apartado anterior.

Como hemos visto en la p�gina anterior, las velocidades a lo largo del eje X no estar�n relacionadas con las velocidades a lo largo del eje Y o Z, por tanto, < v²>=3< v²_x>.

Como el t�rmino mv² es el doble de la energ�a cin�tica media, expres�ndolo en funci�n de la temperatura T, queda la relaci�n

Finalmente, la relaci�n entre las magnitudes macrosc�picas volumen y temperatura es,

Integrando obtenemos la relaci�n entre el volumen y la temperatura del gas ideal, o bien la relaci�n entre la presi�n y el volumen

Para un gas monoat�mico, los calores espec�ficos son: c_v=5R/2 y c_p=c_v+R=5R/2. De modo que g =c_p/c_v=5/3

La ecuaci�n para una transformaci�n adiab�tica es por tanto,