Oscilaciones
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 Modos normales
de vibraci�n de un sistema de muelles y part�culas |
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| Vamos a estudiar los modos normales de vibraci�n de un sistema formado por muelles y part�culas, como continuaci�n y generalizaci�n del sistema formado por dos osciladores acoplados. Este ejemplo nos ayudar� a comprender los modos normales de vibraci�n de una cuerda fija por sus extremos, tambi�n denominados ondas estacionarias. Posteriormente, estudiaremos el mismo sistema formado por part�culas y muelles, pero bajo la acci�n de una fuerza oscilante que act�a sobre la primera part�cula. Buscaremos la fecuencia de los modos normales de oscilaci�n a partir de la condici�n de resonancia, es decir, cuando la frecuencia de la fuerza oscilante coincide con alguna de las frecuencias propias del sistema.
Modos normales de vibraci�n de un sistema de muelles y part�culasYa estudiamos las ecuaciones del movimiento de cada uno de los dos osciladores acoplados, por lo que ser� f�cil, a partir de este ejemplo, generalizar el resultado para N osciladores. Como vemos en la figura, tenemos N part�culas de masa m unidas a N+1 muelles iguales de constante K, cuyos extremos est�n fijos. La separaci�n de equilibrio entre las part�culas es a. Supongamos que en un instante dado t, la part�cula 1 se desplaza y1, la part�cula 2 se desplaza y2, ... la part�cula i se desplaza yi, etc. La ecuaci�n del movimiento para la part�cula i ser� entonces
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Modos normalesSupongamos, que el sistema vibra en un modo de frecuencia w. Cada part�cula describir� un M.A.S. de la misma frecuencia w y fase j , pero cuya amplitud Ai vamos a calcular. yi=Ai�cos(w t+j ) Introduciendo esta expresi�n en la ecuaci�n diferencial que describe el movimiento de cada part�cula, obtenemos, la relaci�n entre las amplitudes de los M.A.S. de las part�culas i+1, i, e i-1.
Vamos a buscar una soluci�n a esta ecuaci�n de la forma Ai=A�sen(k�ia) donde k es el n�mero de onda k=2p /l . Despu�s de algunas operaciones, se obtiene
y finalmente,
Esta ecuaci�n que relaciona la frecuencia angular w con el n�mero de onda k, se denomina relaci�n de dispersi�n. Aplicaremos las condiciones de contorno para la soluci�n buscada Ai=A�sen(kia) Las part�culas imaginarias situadas en las posiciones extremas i=0, e i=N+1, est�n fijas, de aqu� se obtiene los posibles valores del n�mero de onda o de la longitud de onda. AN+1=A�sen(ka(N+1))=0, se cumple cuando ka(N+1)=np
La f�rmula de las frecuencias angulares de los distintos modos de vibraci�n son
Donde K es la constante del muelle, m la masa de las part�culas, que hemos tomado como unidad, N el n�mero de part�culas del sistema. En la figura, se muestra la relaci�n de dispersi�n para un sistema de 3 part�culas. La curva continua en color azul es la representaci�n de la frecuencia angular w en funci�n del n�mero de onda k, cuyo valor m�ximo se obtiene para k=p /a. Los puntos en color rojo sobre la curva continua se�alan las frecuencias de los tres modos de vibraci�n.
En el siguiente applet se van a mostrar de forma animada el movimiento de las part�culas del sistema en el modo normal de vibraci�n seleccionado. En la parte inferior del applet, se representa en el eje vertical el desplazamiento de cada una de las part�culas. Como ejercicio se recomienda representar gr�ficamente, la frecuencia de los distintos modos en funci�n del n�mero de onda (o del n�mero del modo n), tomando como modelo la figura anterior. Observar los modos de vibraci�n de un sistema compuesto por muchas part�culas y muelles, por ejemplo, 20, y compararlos con los modos de vibraci�n de una cuerda u ondas estacionarias en una cuerda sujeta por ambos extremos. |
Instrucciones para el manejo del programaSe introduce
Se pulsa en el bot�n titulado Siguiente>> para observar el siguiente modo de vibraci�n. Se pulsa en el bot�n titulado Anterior<< para observar el modo de vibraci�n previo. En la parte superior de la ventana, se indica el modo normal de vibraci�n n que se representa y su frecuencia w n.
Oscilaciones forzadas de un sistema de part�culas y muellesEn este apartado, vamos a simular una experiencia de laboratorio que consiste en un sistema de p�ndulos que unimos mediante muelles. El primero, lo unimos mediante una cuerda a una punta clavada en la periferia de un disco que gira accionado por un motor de velocidad variable, tal como se indica en la figura. |
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| La situaci�n que se describe corresponde a las oscilaciones forzadas de un sistema formado por part�culas y muelles. Se excita un determinado modo de vibraci�n siempre que la frecuencia de la fuerza oscilante sea igual a la frecuencia de dicho modo de vibraci�n, el sistema se dice entonces, que est� en resonancia. En la secci�n anterior, hemos obtenido los distintos modos normales de vibraci�n de un sistema, en �sta, observaremos c�mo se excitan aplicando una fuerza oscilante de amplitud F0 y frecuencia angular wf, introduciendo en el control de edici�n titulado Frecuencia angular, el valor de la frecuencia del modo normal de vibraci�n que se desea excitar. En el caso de que la amplitud de las oscilaciones sea grande, se disminuye la amplitud F0 de la fuerza oscilante, introduciendo un n�mero m�s peque�o en el control de edici�n titulado Fuerza oscilante. Observar el comportamiento del sistema para otras frecuencias que no sean las de resonancia. En particular, frecuencias que est�n por debajo de la frecuencia del primer modo, y frecuencias que est�n por encima del modo de vibraci�n m�s alto. |
Instrucciones para el manejo del programaSe introduce
Se ha de ajustar el valor de la amplitud para evitar que las part�culas se desplacen demasiado disminuy�ndola o aument�ndola cuando se desplacen muy poco. |
Modos normales
de vibraci�n
