Deformaciones de la rueda y del plano horizontal.

S�lido r�gido

Comparaci�n entre un cuerpo que desliza con otro que rueda

Un cuerpo r�gido que rueda sobre una superficie horizontal deformable.

Actividades

Como hemos visto en las dos p�ginas precedentes, equilibrio rotaci�n-traslaci�n, y en el estudio del movimiento de la bola de billar,  hay dos fases en el movimiento de dicho cuerpo:

1. Hay una fuerza de fricci�n en el punto de contacto entre la bola de billar y el plano horizontal.
2. Esta fuerza de rozamiento desaparece en el momento en que la bola rueda sin deslizar con velocidad constante.

La causa de la desaparici�n de la fuerza de rozamiento estriba en que el punto de contacto de la bola con el plano horizontal est� instant�neamente en reposo con respecto a dicho plano.

Nuestra experiencia indica, que la bola de billar no prosigue movi�ndose indefinidamente con velocidad constante, sino que se para al cabo de un cierto tiempo.

Deformaciones de la rueda y la superficie horizontal

Hasta ahora hemos supuesto que la bola de billar y el plano horizontal eran perfectamente r�gidos, pero esta no es la situaci�n real.

En la figura de la izquierda, vemos las fuerzas que se ejercen sobre un disco que se deforma y un plano horizontal que tambi�n se deforma. La resultante de las fuerzas que se ejercen en la superficie de contacto se muestran en la figura de la derecha.

Dicha resultante, tiene dos componentes: una componente vertical N y una componente horizontal f. La componente vertical N no pasa en general por el centro de masas, sino a una peque�a distancia d, que es el brazo de dicha fuerza tal como se muestra en la figura.

Las ecuaciones del movimiento para un disco de masa M y radio R son

La primera ecuaci�n corresponde a la din�mica del movimiento de traslaci�n del centro de masas. La segunda, la rotaci�n alrededor de un eje que pasa por el c.m. La �ltima ecuaci�n, es la condici�n de rodar sin deslizar. El valor de la aceleraci�n del c.m. a_c y el valor de la fuerza f se pueden obtener de las ecuaciones del movimiento

Comparaci�n entre un cuerpo que desliza con otro que rueda

Para un cuerpo que desliza las ecuaciones del movimiento son m�s simples

La aceleraci�n del cuerpo vale

Normalmente, el coeficiente din�mico de rozamiento m_k es mucho mayor que el cociente d/R. Por lo que concluimos, que un cuerpo que desliza se detiene mucho antes que un cuerpo que rueda sin deslizar.

Podemos calcular la fuerza F que tenemos que aplicar en el c.m. para mantener ambos cuerpos en movimiento uniforme.

En el caso del disco tenemos que a_c=0 y a =0.

obtenemos que F=mgd/R. Mientras que en el caso del bloque obtenemos F=m_kmg.

De nuevo, concluimos que la fuerza F necesaria para mantener deslizando con velocidad constante a un cuerpo es superior a la fuerza necesaria para hacer rodar otro cuerpo de la misma masa, siempre que se cumpla que

Un cuerpo r�gido que rueda sobre una superficie horizontal deformable.

En general, la deformaci�n se produce en ambos cuerpos, en la mayor parte de los casos podemos suponer que es uno el que se deforma. Por ejemplo, en el caso del juego del billar, la bola experimenta una deformaci�n mucho menor que el tapete. En el caso de un autom�vil, la rueda experimenta mayor deformaci�n que el asfalto o cemento de la carretera.

Consideremos el caso de una bola de billar que rueda sobre un tapete. Como se aprecia en la figura la reacci�n es normal a la superficie en el punto de contacto y se aplica en un punto P’ que est� muy cercano al punto P. La reacci�n no es vertical y tiene por tanto dos componentes N y f.

Las ecuaciones del movimiento son similares a las del disco de la primera secci�n. Solamente, se ha sustituido el momento de inercia del disco por el momento de inercia de una esfera.

Observamos en la parte derecha de la figura que d=Rsenq . Ahora bien, como q  es un �ngulo peque�o, podemos aproximar senq � q  y h� R. Obtenemos el siguiente valor para la aceleraci�n a_c del c.m.

La componente f es una fuerza constante que viene determinada por la deformaci�n de la superficie, y es igual en magnitud al producto de la masa m por la aceleraci�n del c.m.

Actividades

Se introduce en el control de edici�n el Grado de deformaci�n, que es la medida del �ngulo q  en grados. Se supone que la aproximaci�n sen q � q se mantiene hasta los 20�. En la parte inferior del applet, observamos el movimiento de la bola de billar rodando sin deslizar sobre el plano horizontal. El programa interactivo nos proporciona la velocidad del c.m. en funci�n del tiempo, y la distancia que recorre la bola de billar que se mide con una regla graduada en dm. En la parte superior, vemos la deformaci�n de la superficie horizontal y las fuerzas que act�an sobre la bola de billar.

Nota: un �ngulo de 20� es bastante exagerado para la mayor parte de los casos pr�cticos, pero nos permite apreciar en la simulaci�n la deformaci�n de la superficie horizontal y las fuerzas que ejerce sobre la bola de billar.

Una vez introducido el dato requerido se pulsa el bot�n titulado Empieza.

Se puede parar el movimiento en cualquier momento pulsando en el bot�n titulado Pausa. Se reanuda el movimiento pulsando en el mismo bot�n titulado ahora Continua.

Se puede observar el movimiento paso a paso pulsando el bot�n titulado Paso. Se reanuda el movimiento normal pulsando el bot�n titulado Continua.