Din�mica celeste Leyes de Kepler El descubrimiento de la ley de la gravitaci�n
Movimiento de los cuerpos celestes Encuentros espaciales �rbita de transferencia El Sistema Solar Medida de la velocidad de la luz El fen�meno de las mareas Ca�da de un cuerpo sobre un planeta en rotaci�n Los anillos de un planeta Movimiento bajo una fuerza central y una perturbaci�n |
Fuerza de atracci�n entre los cuerpos | |||||||||||||||
Fuerza de atracci�n entre los cuerpos
La interacci�n entre dos cuerpos de masa M y m se describe en t�rmino de una fuerza atractiva, cuya direcci�n es la recta que pasa por el centro de los dos cuerpos y cuyo m�dulo viene dado por la expresi�n
G es la constante de la gravitaci�n universal G=6.67�10-11 Nm2/kg2, y r es la distancia entre los centros de los cuerpos
Fuerza central y conservativaLa fuerza de atracci�n entre un planeta y el Sol es central y conservativa. La fuerza de repulsi�n entre una part�cula alfa y un n�cleo es tambi�n central y conservativa. En este apartado estudiaremos la primera, dejando para m�s adelante la segunda, en el estudio del fen�meno de la dispersi�n, que tanta importancia tuvo en el descubrimiento de la estructura at�mica. Una fuerza es central cuando el vector posici�n r es paralelo al vector fuerza F. El momento de la fuerza M=r� F=0 y de la relaci�n entre le momento de las fuerzas que act�a sobre una part�cula y el momento angular, (Teorema del momento angular) se concluye que
El momento angular permanece constante en m�dulo, direcci�n y sentido. El momento angular L de una part�cula es el vector producto vectorial L=r�mv, perpendicular al plano determinado por el vector posici�n r y el vector velocidad v. Como el vector L permanece constante en direcci�n, r y v estar�n en un plano perpendicular a la direcci�n fija de L. De aqu�, se concluye que la trayectoria del m�vil estar� contenida en un plano perpendicular al vector momento angular L Por otra parte, la fuerza es inversamente proporcional al cuadrado de las distancia r entre el m�vil y el centro de fuerzas. Dicha fuerza es conservativa, y podemos hallar la funci�n energ�a potencial Ep.
El hecho de que la fuerza de atracci�n sea conservativa, implica que la energ�a total (cin�tica m�s potencial) de la part�cula es constante, en cualquier punto de la trayectoria.
Ecuaci�n de la trayectoriaPara hallar la ecuaci�n de la trayectoria expresamos el momento angular y la energ�a en coordenadas polares
Las ecuaciones de constancia del momento angular y de la energ�a constituyen un par de ecuaciones diferenciales en las que se puede eliminar el tiempo t. Para obtener la ecuaci�n de la trayectoria r=r(q) se integra la ecuaci�n diferencial
El resultado es una c�nica cuyo par�metro e denominado excentricidad define el tipo de trayectoria
As�, una elipse se define en geometr�a como el tipo de c�nica cuya excentricidad es menor que la unidad. Para que una part�cula sometida a una fuerza central, atractiva, inversamente proporcional al cuadrado de las distancias al centro de fuerzas, describa dicha trayectoria tiene que tener una energ�a total negativa (E<0). Volviendo a la geometr�a de la elipse en la primera ley de Kepler, la posici�n m�s cercana al foco r1 se obtiene cuando q=0 y la posici�n m�s alejada r2 se obtiene cuando q=p. Es decir,
Los semiejes a y b de la elipse valen
PeriodoSe denomina periodo al tiempo que tarda el m�vil en dar una vuelta completa. En el applet que estudia la segunda ley de Kepler y en la figura vemos que el radio vector que une el Sol con el planeta barre en el intervalo de tiempo comprendido entre t y t+dt el �rea de color rojo de forma triangular.
Integrando la ecuaci�n del momento angular expresado en coordenadas polares
La primera integral es el �rea total de la elipse pab, que es igual a la suma de las �reas de todos tri�ngulos infinitesimales. La integral del segundo miembro es el periodo P del planeta, por tanto
Esta ecuaci�n se puede transformar f�cilmente para obtener la relaci�n entre el periodo de la �rbita de un planeta P y el semieje mayor de la elipse a, denominada tercera ley de Kepler.
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Fuerza central y
conservativa
