El escal�n de potencial (E>E0)

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Mec�nica Cu�ntica

La ecuaci�n de
Schr�dinger 
marca.gif (847 bytes)Escal�n de potencial
  E>E0
Escal�n de potencial
E<E0
Modelo de n�cleo
radioactivo
Desintegraci�n
radioactiva
Caja de potencial
Pozo de potencial
�tomo, mol�cula... 
s�lido lineal
Potencial peri�dico
Defectos puntuales
Barreras de potencial
El oscilador arm�nico
cu�ntico
Descripci�n

java.gif (886 bytes) Actividades

 

En el cap�tulo Movimiento Ondulatorio vimos que una onda luminosa o mec�nica al atravesar la superficie de separaci�n de dos medios de distintas propiedades �pticas o mec�nicas, una parte se refleja y otra se transmite. La proporci�n de la intensidad de la onda incidente que se transmite se denomina coeficiente de transmisi�n, y la proporci�n de la intensidad de la onda incidente que se refleja se denomina coeficiente de reflexi�n.

Cuando una part�cula atraviesa la frontera entre dos regiones de distinto potencial, no se divide en dos (lo que confirma que una part�cula no es una onda cl�sica), sino que bien puede reflejarse o bien transmitirse. No podemos predecir de antemano la conducta de una part�cula individual, sino la mayor o menor probabilidad de que se refleje o se transmita.

 

Descripci�n

La ecuaci�n de Schr�dinger independiente del tiempo en una regi�n unidimensional cuya energ�a potencial viene descrita por la funci�n Ep(x) es

Donde E es la energ�a total de la part�cula de masa m

La soluci�n de la ecuaci�n de Schr�dinger Y(x) se denomina funci�n de onda.

La probabilidad de encontrar la part�cula descrita por dicha funci�n de onda en el intervalo x, x+dx es . Naturalmente,

En otras palabras, la probabilidad por unidad de longitud (o densidad de probabilidad) de encontrar la part�cula en x es .

Si tenemos N part�culas id�nticas, , nos dar� el n�mero de part�culas que hay en la unidad de longitud. Si todas las part�culas se mueven con la misma velocidad v, el flujo de part�culas ser� . Se denomina densidad de corriente de probabilidad a la cantidad que es el producto de la velocidad de las part�culas por la densidad de probabilidad.

 

Part�cula libre

El caso m�s simple es el de una part�cula libre. La energ�a potencial Ep(x)=0

La ecuaci�n de Schr�dinger se escribe

Ecuaci�n diferencial an�loga a la de un movimiento arm�nico simple, su soluci�n la expresaremos de otra forma equivalente

 

Escal�n de potencial

El escal�n de potencial consiste en una regi�n x<0 en la que la energ�a potencial es nula, seguida de una regi�n x>0 en la que la energ�a potencial es constante y de valor E0.

La funci�n Ep(x) presenta por tanto, una discontinuidad en x=0.

Escalon.gif (791 bytes)

Se pueden presentar dos casos

En este apartado trataremos el primer caso, dejando el segundo caso, algo m�s complejo, para el siguiente.

Planteamos la ecuaci�n de Schr�dinger en cada una de las regiones y hallamos su soluci�n de forma semejante al de la part�cula libre. En la siguiente tabla se resumen los resultados.

Regi�n x<0, Ep(x)=0 Regi�n x>0, Ep(x)=E0

En el punto x=0, la funci�n de onda Y debe ser continua y tambi�n lo debe ser su derivada primera.

Lo que da lugar a un sistema de dos ecuaciones con dos inc�gnitas que nos permiten expresar los coeficientes B y C en funci�n del coeficiente A.

Veamos ahora el significado f�sico de los distintos t�rminos de la soluci�n de la ecuaci�n de Schr�dinger. En la primera regi�n x<0 tenemos part�culas incidentes y reflejadas, pero en la segunda regi�n x>0 solamente tenemos part�culas transmitidas. La funci�n de onda tiene dos t�rminos en la primera regi�n y un solo t�rmino en la segunda.

Part�culas Funci�n de onda Probabilidad Flujo
incidentes
reflejadas
transmitidas

Se denomina coeficiente de reflexi�n a la proporci�n de part�culas incidentes que se reflejan

Se denomina coeficiente de transmisi�n a la proporci�n de part�culas incidentes que se transmiten.

Como puede f�cilmente comprobarse R+T=1

Podemos ver aqu�, una analog�a con el movimiento ondulatorio, una onda incidente al atravesar dos medios de distinta naturaleza (densidad, �ndice de refracci�n, etc., dependiendo del tipo de onda) da origen a una onda reflejada que se propaga en el primer medio, y a una onda transmitida que se propaga en el segundo medio.

 

Actividades

  • Se introduce la energ�a de la part�cula mayor que uno
  • Se pulsa en el bot�n Empieza, para que las part�culas incidentes se reflejen o se transmitan. En la parte izquierda de la ventana se contabilizan el n�mero de part�culas incidentes y el n�mero de part�culas reflejadas.
  • Observar que no podemos predecir la conducta de una part�cula individual, si se va a reflejar o se va a transmitir.
  • Completar la siguiente tabla, calculando el coeficiente de reflexi�n (n�mero de part�culas reflejadas dividido por el n�mero de part�culas incidentes) en la cuarta columna.
  • Comparar el coeficiente de reflexi�n "experimental" (cuarta columna) con el "te�rico" (quinta columna) deducido a partir de la ecuaci�n de Schr�dinger

Energ�a

Part�culas incidentes

Part�culas reflejadas

Cociente
reflej./incidentes

Coef. reflexi�n
(te�rico)

1.1

       

1.2

       

1.3

       

1.4

       
         
         

 

 

Instrucciones para el manejo del programa

La energ�a introducida tiene que ser mayor que 1.

A continuaci�n, se pulsa el bot�n Empieza para comenzar la experiencia.

Se pulsa el bot�n Pausa, para parar moment�neamente la experiencia. Se pulsa en el mismo bot�n titulado ahora Continua para reanudarla..

Se desactiva la casilla titulada Ver movimiento, si no estamos interesados en ver el movimiento de la part�cula, sino tan s�lo en la proporci�n de part�culas incidentes que se reflejan, para cada valor de la energ�a E que introducimos.