Mec�nica Cu�ntica |
La ecuaci�n de Schr�dinger
Escal�n de potencial E<E0 Modelo de n�cleo radioactivo Desintegraci�n radioactiva Caja de potencial Pozo de potencial �tomo, mol�cula... s�lido lineal Potencial peri�dico Defectos puntuales Barreras de potencial El oscilador arm�nico cu�ntico |
Descripci�n | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
En el cap�tulo Movimiento Ondulatorio vimos que una onda luminosa o mec�nica al atravesar la superficie de separaci�n de dos medios de distintas propiedades �pticas o mec�nicas, una parte se refleja y otra se transmite. La proporci�n de la intensidad de la onda incidente que se transmite se denomina coeficiente de transmisi�n, y la proporci�n de la intensidad de la onda incidente que se refleja se denomina coeficiente de reflexi�n. Cuando una part�cula atraviesa la frontera entre dos regiones de distinto potencial, no se divide en dos (lo que confirma que una part�cula no es una onda cl�sica), sino que bien puede reflejarse o bien transmitirse. No podemos predecir de antemano la conducta de una part�cula individual, sino la mayor o menor probabilidad de que se refleje o se transmita.
Descripci�nLa ecuaci�n de Schr�dinger independiente del tiempo en una regi�n unidimensional cuya energ�a potencial viene descrita por la funci�n Ep(x) es Donde E es la energ�a total de la part�cula de masa m La soluci�n de la ecuaci�n de Schr�dinger Y(x) se denomina funci�n de onda. La probabilidad de encontrar la part�cula descrita por dicha funci�n de onda en el
intervalo x, x+dx es En otras palabras, la probabilidad por unidad de longitud (o densidad de
probabilidad) de encontrar la part�cula en x es Si tenemos N part�culas id�nticas,
El caso m�s simple es el de una part�cula libre. La energ�a potencial Ep(x)=0 La ecuaci�n de Schr�dinger se escribe Ecuaci�n diferencial an�loga a la de un movimiento arm�nico simple, su soluci�n la expresaremos de otra forma equivalente
El escal�n de potencial consiste en una regi�n x<0 en la que la energ�a potencial es nula, seguida de una regi�n x>0 en la que la energ�a potencial es constante y de valor E0. La funci�n Ep(x) presenta por tanto, una discontinuidad en x=0. Se pueden presentar dos casos
En este apartado trataremos el primer caso, dejando el segundo caso, algo m�s complejo, para el siguiente. Planteamos la ecuaci�n de Schr�dinger en cada una de las regiones y hallamos su soluci�n de forma semejante al de la part�cula libre. En la siguiente tabla se resumen los resultados.
En el punto x=0, la funci�n de onda Y debe ser continua y tambi�n lo debe ser su derivada primera. Lo que da lugar a un sistema de dos ecuaciones con dos inc�gnitas que nos permiten expresar los coeficientes B y C en funci�n del coeficiente A. Veamos ahora el significado f�sico de los distintos t�rminos de la soluci�n de la ecuaci�n de Schr�dinger. En la primera regi�n x<0 tenemos part�culas incidentes y reflejadas, pero en la segunda regi�n x>0 solamente tenemos part�culas transmitidas. La funci�n de onda tiene dos t�rminos en la primera regi�n y un solo t�rmino en la segunda.
Se denomina coeficiente de reflexi�n a la proporci�n de part�culas incidentes que se reflejan Se denomina coeficiente de transmisi�n a la proporci�n de part�culas incidentes que se transmiten. Como puede f�cilmente comprobarse R+T=1 Podemos ver aqu�, una analog�a con el movimiento ondulatorio, una onda incidente al atravesar dos medios de distinta naturaleza (densidad, �ndice de refracci�n, etc., dependiendo del tipo de onda) da origen a una onda reflejada que se propaga en el primer medio, y a una onda transmitida que se propaga en el segundo medio.
Actividades
Instrucciones para el manejo del programaLa energ�a introducida tiene que ser mayor que 1. A continuaci�n, se pulsa el bot�n Empieza para comenzar la experiencia. Se pulsa el bot�n Pausa, para parar moment�neamente la experiencia. Se pulsa en el mismo bot�n titulado ahora Continua para reanudarla.. Se desactiva la casilla titulada Ver movimiento, si no estamos interesados en ver el movimiento de la part�cula, sino tan s�lo en la proporci�n de part�culas incidentes que se reflejan, para cada valor de la energ�a E que introducimos. |