Mec�nica Cu�ntica

La ecuaci�n de
Schr�dinger  

Escal�n de potencial
E>E0

Escal�n de potencial
E<E0

Modelo de n�cleo
radioactivo

Desintegraci�n
radioactiva

Caja de potencial

Pozo de potencial

�tomo, mol�cula... 
s�lido lineal

Potencial peri�dico

Defectos puntuales

Barreras de potencial

El oscilador arm�nico
cu�ntico

Actividades

La cuantizaci�n de la energ�a es uno de los conceptos m�s importantes de la Mec�nica Cu�ntica, ya que explica las propiedades de los �tomos que constituyen los componentes b�sicos de la materia.

Para calcular los niveles de energ�a, es necesario resolver una ecuaci�n diferencial de segundo orden, la ecuaci�n de Schr�dinger, para la funci�n potencial especificada, que en muchos casos carece de soluci�n anal�tica sencilla. Por simplicidad, elegiremos como modelos de �tomo, primero una caja de potencial y despu�s un pozo de potencial.

Descripci�n

Consideremos una part�cula obligada a moverse en una regi�n entre x=0 y x=a, tal como una mol�cula de gas en una caja, un electr�n libre en un trozo de metal, etc. Si la energ�a cin�tica del electr�n es peque�a comparada con la altura de la barrera de potencial, el electr�n se podr� mover libremente a trav�s del metal pero no podr� escapar de �l. Podemos representar estas situaciones f�sicas, por un potencial rectangular de altura infinita. Tenemos que Ep(x)=0 para 0<x<a, ya que la part�cula se mueve libremente en esta regi�n, y fuera de esta regi�n la energ�a potencial se hace infinita. Entonces, cualquiera que sea el valor de le energ�a E de la part�cula, �sta no puede estar a la izquierda de x=0, ni a la derecha de x=a. La funci�n de onda en dichas regiones debe de ser nula.

La ecuaci�n de Schr�dinger en la regi�n 0<x<a donde E_p(x)=0 se escribe

Su soluci�n ya se ha proporcionado al estudiar el escal�n de potencial.

Las condiciones de contorno requieren que Y(x)=0 en x=0, obtenemos

Y(x)=2iA�sen(kx)

y tambi�n, que Y(x)=0 en x=a. Como A no puede ser cero, tenemos entonces,

sen(ka)=0 por lo que ka=np donde n es un n�mero entero.

La energ�a de la part�cula ser�

Si E₁ es la energ�a del primer nivel (n=1) la energ�a de los sucesivos niveles es 4E₁, 9E₁, 16E₁... Concluimos que la part�cula no puede tener una energ�a arbitraria, sino valores concretos, decimos que la energ�a de la part�cula est� cuantizada.

Las funciones de onda se parecen a los modos de vibraci�n de una cuerda tensa, sujeta por ambos extremos o tambi�n denominadas ondas estacionarias. Observaremos, que el modo fundamental no tiene nodos (no corta al eje horizontal). El segundo arm�nico, tiene un nodo (corta una vez al eje horizontal), el tercero tiene dos nodos, y as� sucesivamente. Podemos saber el orden del nivel de energ�a contando el n�mero de veces que la funci�n de onda corta al eje horizontal.

Actividades

• Se introduce la anchura de la caja de potencial entre los valores indicados.

• Se introduce la masa de la part�cula entre los valores se�alados.

• Se pulsa en el bot�n Gr�fica para ver los primeros niveles de energ�a y sus correspondientes funciones de onda.

• Cuando los niveles de energ�a est�n muy juntos las funciones de onda correspondientes a cada nivel se superponen. Desactivar entonces, la casilla Ver funciones de onda, y solamente se ver�n los niveles de energ�a.

• Como se puede observar, las funciones de onda son semejantes a los modos de vibraci�n de una cuerda tensa sujeta por ambos extremos.