Oscilaciones el�ctricas

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Electromagnetismo

Inducci�n
electromagn�tica
Espiras en un campo
magn�tico variable (I)
Espiras en un campo
magn�tico variable (II)
Demostraci�n de
la ley de Faraday
Acelerador de part�culas
El betatr�n
Varilla que se mueve
en un c. magn�tico
Ca�da de una varilla
en un c. magn�tico
Movimiento de una
espira a trav�s de
un c. magn�tico
Corrientes de
Foucault (I)
Corrientes de
Foucault (II)
Inducci�n homopolar
Autoinducci�n.
Circuito R-L
Circuitos acoplados
marca.gif (847 bytes)Oscilaciones el�ctricas
Elementos de un
circuito de C.A.
Circuito LCR en serie
Resonancia
Medida de la velocidad
de la luz en el vac�o
Circuito LCR. Oscilaciones libres

Circuito LCR. Oscilaciones amortiguadas.

Circuito LCR conectado a un fem alterna. Oscilaciones forzadas

 

Vamos a obtener las ecuaciones de las oscilaciones el�ctricas, an�logas a las mec�nicas estudiadas en el cap�tulo de Oscilaciones

 

Circuito LC. Oscilaciones libres

El equivalente mec�nico del circuito LC son las oscilaciones de un sistema formado por una masa puntual unida a un muelle perfectamente el�stico. El equivalente hidr�ulico es un sistema formado por dos vasos comunicantes.

En primer lugar, estudiamos las oscilaciones que se producen en un circuito LC

oscila2.gif (1325 bytes) La ecuaci�n del circuito es

Como i=dq/dt, llegamos a la siguiente ecuaci�n diferencial de segundo orden

Esta ecuaci�n diferencial describe un Movimiento Arm�nico Simple (M.A.S.) de frecuencia angular propia o natural

Carga:

La soluci�n de la ecuaci�n diferencial es

q=Q�sen(w0t+j ),

donde la amplitud Q y la fase inicial j se determinan a partir de las condiciones iniciales, la carga del condensador q0 y la intensidad de la corriente el�ctrica en el circuito i0 en el instante inicial t=0.

Intensidad:

Derivando la expresi�n de la carga q obtenemos la intensidad i

i=Q�w0cos(w0t+j )

Energ�a:

La energ�a del circuito en el instante t es la suma de la energ�a del campo el�ctrico en el condensador m�s la energ�a del campo magn�tico en la bobina.

Se puede f�cilmente comprobar que la suma de ambas energ�as es constante e independiente del tiempo.

Las figuras representan el estado del oscilador cada cuarto de periodo.

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2oscila4.gif (2831 bytes)

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  1. En un instante inicial el condensador est� completamente cargado con una carga Q. Toda la energ�a est� acumulada en forma de campo el�ctrico.
  1. El condensador se empieza a descargar, la intensidad aumenta, en la bobina se produce una fem autoinducida que se opone al incremento de intensidad. Al cabo de un cuarto de periodo, se alcanza la intensidad m�xima I=Q�w0
  1. La intensidad empieza a disminuir, en la bobina se produce una fem que se opone a que la intensidad disminuya. El condensador se empieza a cargar, el campo en el condensador cambia de sentido. Al cabo de un cuarto de periodo m�s, el condensador ha adquirido la carga m�xima Q, y la intensidad en la bobina se ha reducido a cero.
  1. Ahora comienza de nuevo a descargarse el condensador, la intensidad aumenta, el campo en la bobina cambia de sentido. Al cabo de un cuarto de periodo m�s, la intensidad alcanza su valor m�ximo (en valor absoluto).
  1. La intensidad decrece, el condensador empieza a cargarse, el campo el�ctrico en el condensador cambia de sentido. Al cabo de un cuarto de periodo m�s, se ha alcanzado la situaci�n inicial de partida.

 

Circuito LCR. Oscilaciones amortiguadas.

Las oscilaciones libres no se producen en un circuito habitual ya que todo circuito presenta una resistencia.

oscila8.gif (1415 bytes) La ecuaci�n del circuito es ahora

Como i=dq/dt, llegamos a la siguiente ecuaci�n diferencial de segundo orden

La soluci�n de la ecuaci�n diferencial de las oscilaciones amortiguadas es

donde la amplitud Q y la fase inicial j se determinan a partir de las condiciones iniciales, la carga del condensador q0 y la intensidad de la corriente el�ctrica en el circuito i0 en el instante inicial t=0.

En las oscilaciones amortiguadas la amplitud disminuye exponencialmente con el tiempo. La carga m�xima del condensador va disminuyendo. La energ�a del sistema disminuye debido a que se disipa en la resistencia por efecto Joule.

Se presentan dos casos particulares:

Cuando g =w0, entonces la frecuencia de la oscilaci�n w =0, se denomina oscilaci�n cr�tica

Cuando g >w0, entonces la frecuencia de la oscilaci�n w es un n�mero imaginario, y se denomina oscilaci�n sobreamortiguada.

Es f�cil encontrar las relaciones que debe cumplir la capacidad C, resistencia R, y autoinducci�n L del circuito, para que se presenten los distintos casos de oscilaci�n

  • Amortiguadas
  • Cr�ticas
  • Sobreamaortiguadas

 

Circuito LCR conectado a un fem alterna. Oscilaciones forzadas

oscila7.gif (1742 bytes) Las oscilaciones amortiguadas desaparecen al cabo de cierto tiempo, para mantener la oscilaci�n en el circuito podemos conectarla a una fem alterna de frecuencia w .

Si conectamos el circuito LCR a una fem alterna tenemos un oscilador forzado.

Como i=dq/dt, llegamos a la siguiente ecuaci�n diferencial de segundo orden

Ecuaci�n similar a la estudiada para describir las oscilaciones forzadas de una masa unida a un muelle el�stico.