El p�ndulo de Wilberforce

S�lido r�gido

Din�mica de rotaci�n

Momento de una fuerza

Medida del m�dulo
de elasticidad

Medida del m�dulo
de cizallamiento

Ecuaci�n de la
din�mica de rotaci�n

Din�mica de rotaci�n
y balance energ�tico

P�ndulo de torsi�n

P�ndulo compuesto

P�ndulo de Wilberforce

Actividades

El p�ndulo de Wilberforce es un conocido dispositivo para verificar la ley de la conservaci�n de la energ�a. Se puede adem�s, mostrar las oscilaciones acopladas de los modos longitudinales y torsionales de un cuerpo que cuelga de un muelle en forma de h�lice.

Fundamentos f�sicos

Sea k_x la constante el�stica del muelle en las oscilaciones longitudinales y k_q a constante en las oscilaciones torsionales. Sea x el desplazamiento vertical del muelle de la posici�n de equilibrio, y q el �ngulo de rotaci�n alrededor del eje vertical.

Si el acoplamiento entre los dos modos de oscilaci�n est� descrito por una funci�n lineal de la forma k_axq /2, donde k_a se denomina constante de acoplamiento. Las ecuaciones del movimiento del p�ndulo ser�n

w_x es la frecuencia angular de las oscilaciones longitudinales, y w_q es la frecuencia angular de las oscilaciones torsionales, e I es el momento de inercia respecto del eje de rotaci�n.

Del muelle cuelga un cuerpo de forma cil�ndrica y dos esferas iguales situadas a ambos lados del cilindro, cuya distancia al eje de rotaci�n se puede cambiar accionado los tornillos de sujeci�n.

El momento de inercia I respecto del eje de rotaci�n se puede variar, moviendo dos peque�as esferas de igual masa m situadas a la misma distancia d del eje de rotaci�n. El momento de inercia del sistema ser� igual al momento de inercia del cuerpo cil�ndrico m�s el momento de inercia de las dos esferas.

Aplicando el teorema de Steiner podemos expresar el momento de inercia de la esfera como suma de dos t�rminos.

I=I_cilindro+2�I_esferas=I_cilindro+2�(2mr²/5+md²)=I₀+2�md².

El momento de inercia total del sistema se compone de dos t�rminos uno que no cambia I₀ y otro que cambia al modificar la distancia d entre el centro de las esferas y el eje del cilindro.

Se puede demostrar que los modos normales de vibraci�n de este sistema de dos osciladores acoplados son

Si modificamos el momento de inercia I, cambiando la distancia d de las esferas al eje de rotaci�n podemos conseguir que la frecuencia angular de las oscilaciones longitudinales w_x y la frecuencia angular de las oscilaciones torsionales w_q sean iguales w =w_x=w_q

Entonces los modos normales de vibraci�n tienen una expresi�n mucho m�s simple

La forma general del �ngulo de rotaci�n en funci�n del tiempo, ser� la composici�n de dos MAS de la misma direcci�n y de distinta frecuencia .

En el applet que simula el p�ndulo de Wilberforce, se resuelve num�ricamente el sistema de dos ecuaciones diferenciales de segundo orden, que describen respectivamente, las oscilaciones longitudinales y torsionales del muelle y a las que se a�ade un t�rmino que da cuenta del acoplamiento entre ambas modos. El procedimiento num�rico empleado es el de Runge-Kutta.

Dada la dificultad de visualizar el p�ndulo en el espacio tridimensional, se representa el p�ndulo en dos planos, vertical para mostrar las oscilaciones longitudinales y horizontal para mostrar las oscilaciones transversales. Se puede parar en cualquier momento el movimiento, realizar medidas del desplazamiento lineal y angular en las escalas dispuestas al efecto.

Se puede observar los cambios energ�ticos en el diagrama en forma de tarta a la derecha del applet. En distintos colores se representan las energ�as potenciales el�sticas y las energ�as cin�ticas correspondientes a ambos modos de oscilaci�n.

Energ�as correspondientes a las oscilaciones longitudinales

• Energ�a potencial
• Energ�a cin�tica

Energ�as correspondientes a las oscilaciones torsionales

• Energ�a potencial
• Energ�a cin�tica

Actividades

Se introduce el valor de la constante de acoplamiento k_a.

Como en la experiencia real se puede variar ligeramente el momento de inercia, en la simulaci�n se hace arrastrando con el puntero del rat�n dos peque�os c�rculos situados a ambos lados del bloque que cuelga del muelle, hacia el centro para disminuir el momento de inercia, hacia afuera para aumentarlo.

Las condiciones iniciales no se pueden modificar y corresponden a un desplazamiento del muelle de su posici�n de equilibrio.

El applet permite ver el movimiento del p�ndulo, u observar la representaci�n gr�fica de:

• El desplazamiento x en funci�n del tiempo, activando la casilla traslaci�n y pulsando el bot�n titulado Gr�fica
• El desplazamiento angular q en funci�n del tiempo, activando la casilla rotaci�n y pulsando el bot�n titulado Gr�fica

Tambi�n se pueden ver ambos desplazamientos en la misma gr�fica.

Ejemplo:

La frecuencia w_x de las oscilaciones longitudinales es fija

• Masa total m=0.43 kg
• Constante el�stica k_x =16.98 N/m

Lo que da una frecuencia angular de

La frecuencia angular w_q de las oscilaciones torsionales se puede cambiar modificando el momento de inercia I es decir, la distancia de las peque�as esferas al eje de rotaci�n.

• Constante el�stica k_q =5.74�10^-3 Nm
• Momento de inercia I variable

Con el puntero del rat�n modificamos el momento de inercia hasta lograr que ambas frecuencias sean iguales. Los valores de dichas frecuencias aparecen en la parte inferior del applet la frecuencia fija w_x, y en la parte superior del applet w_q .

Para comenzar la simulaci�n se pulsa el bot�n titulado Empieza.

Se puede para en cualquier momento la simulaci�n pulsando el bot�n titulado Pausa. Se reanuda pulsando el mismo bot�n titulado ahora Continua. Se puede seguir la evoluci�n del sistema f�sico paso a paso pulsando repetidamente el bot�n titulado Paso.

Para parar el movimiento del p�ndulo de Wilberforce y comenzar una nueva experiencia se pulsa el bot�n titulado Inicio y a continuaci�n, el bot�n Empieza.